研究與旅行: 有得選就是沒得選，沒得選就是有的選。

2011年9月28日星期三

在呂學一的課堂提到這個例子: $G((0,1)\times (0,1),u)$,\quad $u=x,y$ 但開區間的定義,使得思考上有些困難, 先考慮閉區間的情況。 $G'([0,1]\times [0,1],u)$,\quad $u=x,y$

在 player 1(x) 眼中，要設想 player2 會壓低分數。於是要從所有 x 值的最低點中,找個 x 使其值最大。(紅線) 不幸的是,不論 x 怎麼取,最低點永遠是0。所以說對x 而言,x 選什麼都沒差。

但在 player 2(y) 眼中,要設想 player1 會提高分數。

於是要從所有 y 值的最高點中,找個y 使其值最小。(藍線)

但對 y 而言,就不能亂選,要使得高點越低,只能選 y 為 0。

於是 x (紅線)雖然看似沒得選。

但在數學中，就說怎樣選都是最佳的。

於是 y (藍線)看似有不同選擇，但若要最好的其實只有一個選擇。

所以當規定 y 不能選 0 時(開區間的限制)，就變成 y 永遠選不到最佳的。

Remark 1: 紅線上任一點的高度都比藍線上任一點還低。

所以紅線的最高當然也比藍線最低還高。

Ramark 2: 當紅線和藍線有相同的高度時，我們稱個高度值叫做這個賽局的 value。

第二個例子：

G([0,1]×(1,2),u1), u1 = x ·y , ∀x ∈ (0,1), y ∈ (1, 2)

在這個例子紅線要最大只能取 x = 1,藍線要最低只能取 y = 1。

也可以看出在 (x,y,z) = (1,1,1) 時交會,於是這局也有值 1。

但若規定 x,y 不能取 1,則只能說 x,y 沒有最佳策略。

更多例子：

G([0,1]×(0,1),u1),

u1 = x + y , ∀x ∈ (0, 1), y ∈ (0, 1) 於是這個賽局是否有值,x,y 是否有

最佳策略?

再來一個：

G([0,1]×(0,1),u1), u1 = x/y , ∀x ∈ (0,1), y ∈ (0,1)

這個賽局是否有值,x,y 是否有最佳策略?

最後一個：

G([-1,1]×(-1,1),u1), u1 = x · y , ∀x ∈ (−1, 1), y ∈ (−1, 1)

於是這個賽局是否有值,x,y 是否有最佳策略?

可參考下圖：